代码随想录学习 54day 图论 A star算法
A * 算法精讲 （A star算法）
卡码网：126. 骑士的攻击 题目描述 在象棋中，马和象的移动规则分别是“马走日”和“象走田”。现给定骑士的起始坐标和目标坐标，要求根据骑士的移动规则，计算从起点到达目标点所需的最短步数。 棋盘大小 1000 x 1000（棋盘的 x 和 y 坐标均在 [1, 1000] 区间内，包含边界） 输入描述 第一行包含一个整数 n，表示测试用例的数量。 接下来的 n 行，每行包含四个整数 a1, a2, b1, b2，分别表示骑士的起始位置 (a1, a2) 和目标位置 (b1, b2)。 输出描述 输出共 n 行，每行输出一个整数，表示骑士从起点到目标点的最短路径长度。 输入示例 6 5 2 5 4 1 1 2 2 1 1 8 8 1 1 8 7 2 1 3 3 4 6 4 6 输出示例 2 4 6 5 1 0
思路
我们看到这道题目的第一个想法就是广搜，这也是最经典的广搜类型题目。 这里我直接给出广搜的C++代码：
code c++ 超时
#include
#include
#include
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
void bfs(int a1,int a2, int b1, int b2)
{
queue q;
q.push(a1);
q.push(a2);
while(!q.empty())
{
int m=q.front(); q.pop();
int n=q.front(); q.pop();
if(m == b1 && n == b2)
break;
for(int i=0;i
int mm=m + dir[i][0];
int nn=n + dir[i][1];
if(mm 1000)
continue;
if(!moves[mm][nn])
{
moves[mm][nn]=moves[m][n]+1;
q.push(mm);
q.push(nn);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2, b1, b2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
bfs(a1, a2, b1, b2);
cout 1000:continue
else:
visited[nextx][nexty] = True
grid[nextx][nexty] = counts
# print(nextx, nexty, counts)
if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
return counts
else:
que.append([nextx, nexty])
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)
code python 2
from collections import deque
def bfs(points):
start = points[:2]
end = points[-2:]
if start == end:return 0
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
que = deque([start])
grid[start[0]][start[1]] = 0
dir = [[-1, -2],[ -2, -1], [-2, 1], [-1, 2], [1, 2], [2, 1],[ 2, -1], [1, -2]]
counts = 0
while que:
counts += 1
lens = len(que)
for _ in range(lens):
point = que.popleft()
# print('\n', point)
for i in range(len(dir)):
nextx = point[0] + dir[i][0]
nexty = point[1] + dir[i][1]
if grid[nextx][nexty]!=-1 or nextx 1000 or nexty > 1000:continue
else:
grid[nextx][nexty] = counts
# print(nextx, nexty, counts)
if nextx == end[0] and nexty == end[1]:
return counts
else:
que.append([nextx, nexty])
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)
code python 3
## 20240717 code
from collections import deque
def bfs(points, grid):
start = points[:2]
end = points[-2:]
# grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
grid[start[0]][start[1]] = 0
offsets = [[-2, -1], [-2, 1], [2, -1], [2, 1], [1, -2], [1, 2], [-1, -2], [-1, 2]] # 8个可以移动的offset
## 初始化， 进入队列
que = deque([start])
counts = 0 # 统计走了几步到达目标点
while que:
node = que.popleft() # 取出元素
counts += 1
if node[0] == end[0] and node[1] == end[1]:
print(f'counts"{counts}')
break # 找到终点了 因为是先赋值， 后判断
for i in range(8): # 8个可以移动的offset
nextx = node[0] + offsets[i][0]
nexty = node[1] + offsets[i][1]
# 索引的合法性进行判断
if nextx 1000 or nexty > 1000: continue
# 如果grid没有被访问过
if grid[nextx][nexty] == -1:
# 数值在node 的 基础上 + 1
grid[nextx][nexty] = grid[node[0]][node[1]] + 1
# 该位置放入 que 广度搜索
que.append([nextx, nexty])
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
bfs(points, grid)
print(points, grid[points[-2]][points[-1]]) # 终点的值
# 但是这个代码的计算量很大，
"""
counts"12
[5, 2, 5, 4] 2
counts"35
[1, 1, 2, 2] 4
counts"93
[1, 1, 8, 8] 6
counts"78
[1, 1, 8, 7] 5
counts"3
[2, 1, 3, 3] 1
counts"1
[4, 6, 4, 6] 0
"""
提交后，大家会发现，超时了。 因为本题地图足够大，且 n 也有可能很大，导致有非常多的查询。 我们来看一下广搜的搜索过程，如图，红色是起点，绿色是终点，黄色是要遍历的点，最后从 起点 找到 达到终点的最短路径是棕色。 可以看出 广搜中，做了很多无用的遍历， 黄色的格子是广搜遍历到的点。 这里我们能不能让遍历方向，向这终点的方向去遍历呢？ 这样我们就可以避免很多无用遍历。
Astar
Astar 是一种 广搜的改良版。 有的是 Astar 是 dijkstra 的改良版。 其实只是场景不同而已 我们在搜索最短路的时候， 如果是无权图（边的权值都是1） 那就用广搜，代码简洁，时间效率和 dijkstra 差不多 （具体要取决于图的稠密） 如果是有权图（边有不同的权值），优先考虑 dijkstra。 而 Astar 关键在于 启发式函数， 也就是 影响 广搜或者 dijkstra 从 容器（队列）里取元素的优先顺序。 以下，我用BFS版本的A * 来进行讲解。 在BFS中，我们想搜索，从起点到终点的最短路径，要一层一层去遍历。 如果使用 A* 的话，其搜索过程是这样的，如图，图中着色的都是我们要遍历的点。 （上面两图中 最短路长度都是8，只是走的方式不同而已） 大家可以发现 BFS 是没有目的性的 一圈一圈去搜索， 而 A * 是有方向性的去搜索。 看出 A * 可以节省很多没有必要的遍历步骤。 为了让大家可以明显看到区别，我将 BFS 和 A * 制作成可视化动图，大家可以自己看看动图，效果更好。 地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html 那么 A * 为什么可以有方向性的去搜索，它是如何知道方向呢？ 其关键在于 启发式函数。 那么 启发式函数 落实到代码处，如果指引搜索的方向？ 在本篇开篇中给出了BFS代码，指引 搜索的方向的关键代码在这里： int m=q.front();q.pop(); int n=q.front();q.pop(); 从队列里取出什么元素，接下来就是从哪里开始搜索。 所以 启发式函数 要影响的就是队列里元素的排序！ 这是影响BFS搜索方向的关键。 对队列里节点进行排序，就需要给每一个节点权值，如何计算权值呢？ 每个节点的权值为F，给出公式为：F = G + H G：起点达到目前遍历节点的距离 F：目前遍历的节点到达终点的距离 起点达到目前遍历节点的距离 + 目前遍历的节点到达终点的距离 就是起点到达终点的距离。 本题的图是无权网格状，在计算两点距离通常有如下三种计算方式： 曼哈顿距离，计算方式： d = abs(x1-x2)+abs(y1-y2) 欧氏距离（欧拉距离） ，计算方式：d = sqrt( (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 ) 切比雪夫距离，计算方式：d = max(abs(x1 - x2), abs(y1 - y2)) x1, x2 为起点坐标，y1, y2 为终点坐标 ，abs 为求绝对值，sqrt 为求开根号， 选择哪一种距离计算方式 也会导致 A * 算法的结果不同。 本题，采用欧拉距离才能最大程度体现 点与点之间的距离。 所以 使用欧拉距离计算 和 广搜搜出来的最短路的节点数是一样的。 （路径可能不同，但路径上的节点数是相同的） 我在制作动画演示的过程中，分别给出了曼哈顿、欧拉以及契比雪夫 三种计算方式下，A * 算法的寻路过程，大家可以自己看看看其区别。 动画地址：https://kamacoder.com/tools/knight.html 计算出来 F 之后，按照 F 的 大小，来选去出队列的节点。 可以使用 优先级队列 帮我们排好序，每次出队列，就是F最小的节点。 实现代码如下：（启发式函数 采用 欧拉距离计算方式）
code c++
#include
#include
#include
using namespace std;
int moves[1001][1001];
int dir[8][2]={-2,-1,-2,1,-1,2,1,2,2,1,2,-1,1,-2,-1,-2};
int b1, b2;
// F = G + H
// G = 从起点到该节点路径消耗
// H = 该节点到终点的预估消耗
struct Knight{
int x,y;
int g,h,f;
bool operator 1000 || next.y 1000)
continue;
if(!moves[next.x][next.y])
{
moves[next.x][next.y] = moves[cur.x][cur.y] + 1;
// 开始计算F
next.g = cur.g + 5; // 统一不开根号，这样可以提高精度，马走日，1 * 1 + 2 * 2 = 5
next.h = Heuristic(next);
next.f = next.g + next.h;
que.push(next);
}
}
}
}
int main()
{
int n, a1, a2;
cin >> n;
while (n--) {
cin >> a1 >> a2 >> b1 >> b2;
memset(moves,0,sizeof(moves));
Knight start;
start.x = a1;
start.y = a2;
start.g = 0;
start.h = Heuristic(start);
start.f = start.g + start.h;
astar(start);
while(!que.empty()) que.pop(); // 队列清空
cout 1000: continue
if grid[next.x][next.y] == -1:
grid[next.x][next.y] = grid[cur.x][cur.y] + 1
# 计算距离
next.g = cur.g + 5 # 每走一步的距离一定与上一步 + 5, 而不是和原点 保证一个距离在同一个水平， 走一步之后都是在5的基础上 + （next, end）的距离
# print(start.x,start.y, next.x,next.y,'----------------------------------------')
next.h = Heuristic(next, end)
next.f = next.g + next.h
# print(next.x, next.y, next.g, next.h, next.f, grid[next.x][next.y], 'next=================')
que.put(next)
def main():
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets[:]:
grid = [[-1 for _ in range(1001)] for _ in range(1001)]
grid[points[0]][points[1]] = 0 # 起点的初始化
start = Knight(points[0], points[1]) # 初始化, x, y, g, h, f
end = Knight(points[-2], points[-1])
start.g = 0
start.h = Heuristic(start, end)
start.f = start.g + start.h
Astartbfs(grid, start, end)
print('输出的结果', grid[points[-2]][points[-1]])
print('\n')
while not que.empty():
que.get() # 如果优先级队列非空， 则清空该队列
main()
code 的步数统计
到达终点， counts: 6 输出的结果 2 到达终点， counts: 18 输出的结果 4 到达终点， counts: 16 输出的结果 6 到达终点， counts: 10 输出的结果 5 到达终点， counts: 2 输出的结果 1 到达终点， counts: 1 输出的结果 0 明显小于未优化之前的步数
python code3
# 把昨天写的小垃圾修正一下 昨天主要的错误是： k1 = grid[nextx][nexty] * 5 k2 = Heuristic([nextx, nexty], end) que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty])) 昨天写成了 k1 = Heuristic(start, [nextx, nexty]) + 5 k2 = Heuristic([nextx, nexty], end) que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty])) 没有理解 k1 的作用，k1 最大的作用是 走了 1步则k1=0+5, 走了2步， k1 = 0 + 5 + 5, 每多走一步， 一定是在上一步的k1的基础上递增。而不是计算start和当前步的欧式距离 ，欧式距离只适用于： 当前步到达终点位置的计算。
from queue import PriorityQueue
class Knight:
def __init__(self,k, point):
self.k = k
self.point = point
def __lt__(self, other):
return self.k 1000 or nexty > 1000:continue
if grid[nextx][nexty] == -1:
grid[nextx][nexty] = grid[point[0]][point[1]] + 1
# print(nextx, nexty, counts)
k1 = grid[nextx][nexty] * 5
k2 = Heuristic([nextx, nexty], end)
que.put(Knight(k1 + k2, [nextx, nexty]))
from collections import deque
print('xxxxxxxx')
memsets = [[5, 2, 5, 4], [1, 1, 2, 2], [1, 1, 8, 8], [1, 1, 8, 7], [2, 1, 3, 3], [4, 6, 4, 6]]
for points in memsets:
res = bfs(points)
print(points, res)
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