C++ AVL树详细讲解

2024-06-08 1345阅读

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的旋转

4.AVL树的验证

三、AVL树的性能

四、完结撒❀

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树： ● 它的左右子树都是 AVL 树 ● 左右子树高度之差 ( 简称平衡因子 ) 的绝对值不超过 1(-1/0/1）

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 O(log2 n) ，搜索时间复杂度 O(log2 n) 。

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：

template
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}
	AVLTreeNode* _pLeft;   // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode* _pRight;  // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf;                  // 该节点的平衡因子
};

2.AVL树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么 AVL 树的插入过程可以分为两步： 1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点 2. 调整节点的平衡因子

bool Insert(const pair& kv)
{
    // 1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else if (cur->_kv.first _right;
		}
		else
		{
			//插入相同值
			return false;
		}
	}
	
	//找到cur所在位置
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first > cur->_kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;
	}
     // 2. 新节点插入后，AVL树的平衡性可能会遭到破坏，此时就需要更新平衡因子，并检测是否
    //破坏了AVL树的平衡性
    
     /*
     pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent
     的平衡因子分为三种情况：-1，0, 1, 分以下两种情况：
      1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
      2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可
  
     此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2
      1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整成0，此时满足
AVL树的性质，插入成功
      2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更新成正负1，此
时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
      3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进行旋转处理
     */
    //更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (parent->_left == cur)
		{
			parent->_bf--;
		}
		else
		{
			parent->_bf++;
		}
		if (parent->_bf == 0)
		{
			//二叉树高度没问题，更新结束
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
            // 插入前双亲的平衡因子是0，插入后双亲的平衡因子为1 或者 -1 ，说明以双亲为根的二叉树
            // 的高度增加了一层，因此需要继续向上调整
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
		{
            //双亲的平衡因子为正负2，违反了AVL树的平衡性
			//二叉树平衡被破坏，需要旋转完成平衡
			//判断是右单旋还是左单旋还是双旋
			
			//右单旋
			if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				//...
			}
			//左单旋
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				//...
			}
			//左右双旋
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
                //...
			}
			//右左双旋
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
                //...
			}
		}
		else
		{
			//理论上不会出现这种状况
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

3.AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同， AVL 树的旋转分为四种： 1) 新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

/*
  上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左
子树增加
  了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子
树增加一层，
  即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点
的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：
  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 60可能是根节点，也可能是子树
     如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
     如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
    
此处可举一些详细的例子进行画图，考虑各种情况，加深旋转的理解
*/
void _RotateR(Node Parent)
{
	// SubL: Parent的左孩子
	// SubLR: Parent左孩子的右孩子，注意：该
	Node SubL = Parent->_Left;
	Node SubLR = SubL->_Right;
	// 旋转完成之后，30的右孩子作为双亲的左孩子
	Parent->_Left = SubLR;
	// 如果30的左孩子的右孩子存在，更新亲双亲
	if (SubLR)
		SubLR->_Parent = Parent;
	// 60 作为 30的右孩子
	SubL->_Right = Parent;
	// 因为60可能是棵子树，因此在更新其双亲前必须先保存60的双亲
	Node Parent = Parent->_Parent;
	// 更新60的双亲
	Parent->_Parent = SubL;
	// 更新30的双亲
	SubL->_Parent = Parent;
	// 如果60是根节点，根新指向根节点的指针
	if (NULL == Parent)
	{
		_root = SubL;
		SubL->_Parent = NULL;
	}
	else
	{
		// 如果60是子树，可能是其双亲的左子树，也可能是右子树
		if (Parent->_Left == Parent)
			Parent->_Left = SubL;
		else
			Parent->_Right = SubL;
	}
	// 根据调整后的结构更新部分节点的平衡因子
	Parent->_bf = SubL->_bf = 0;
}

2) 新节点插入较高右子树的右侧---右右：左单旋

//左单旋
void LNode(Node* parent)
{
	/*if (parent == _root)
	{
		Node* pparent = nullptr;
	}
	else
	{
		Node* pparent = parent->_parent;
	}*/
	Node* pparent = parent->_parent;
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	parent->_left = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	if (pparent)
	{
		subR->_parent = pparent;
		if (pparent->_left = parent)
		{
			pparent->_left = subR;
		}
		else
		{
			pparent->_right = subR;
		}
	}
	else
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	parent->_bf = subR->_bf = 0;
}

3) 新节点插入较高左子树的右侧---左右：先左单旋再右单旋

将双旋变成单旋后再旋转，即：先对 30 进行左单旋，然后再对 90 进行右单旋，旋转完成后再考虑平衡因子的更新。

// 旋转之前，60的平衡因子可能是-1/0/1，旋转完成之后，根据情况对其他节点的平衡因子进
//行调整
void _RotateLR(Node Parent)
{
	Node SubL = Parent->_Left;
	Node SubLR = SubL->_Right;
	// 旋转之前，保存pSubLR的平衡因子，旋转完成之后，需要根据该平衡因子来调整其他节
	点的平衡因子
		int bf = SubLR->_bf;
	// 先对30进行左单旋
	_RotateL(Parent->_Left);
	// 再对90进行右单旋
	_RotateR(Parent);
	if (1 == bf)
		SubL->_bf = -1;
	else if (-1 == bf)
		Parent->_bf = 1;
}

4) 新节点插入较高右子树的左侧---右左：先右单旋再左单旋

//右左双旋
void RLNode(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RNode(parent->_right);
	LNode(parent);
	if (bf == 1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		subRL->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		//理论没有该状况
		assert(false);
	}
}

总结：假如以 Parent 为根的子树不平衡，即 Parent 的平衡因子为 2 或者 -2 ，分以下情况考虑 1）Parent 的平衡因子为 2 ，说明 Parent 的右子树高，设 Parent 的右子树的根为 SubR 当 SubR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋当 SubR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋 2）Parent 的平衡因子为 -2 ，说明 Parent 的左子树高，设 Parent 的左子树的根为 SubL 当 SubL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋当 SubL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋旋转完成后，原 Parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

4.AVL树的验证

AVL 树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证 AVL 树，可以分两步： 1. 验证其为二叉搜索树如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树 2. 验证其为平衡树 ● 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子 ) ● 节点的平衡因子是否计算正确

int _size(Node* root)
{
	return root == nullptr ? 0 : _size(root->_left) + _size(root->_right) + 1；
}
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return 0;
	}
	return max(_Height(root->_left), _Height(root->_right)) + 1;
}
bool _IsBalance(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	int LeftHeight = _Height(root->_left);
	int RightHeight = _Height(root->_right);
	if (abs(LeftHeight - RightHeight) >= 2)
	{
		return false;
	}
	//可以顺便再检查一下平衡因子
	if (abs(LeftHeight - RightHeight) != root->_bf)
	{
		cout _kv.first _left) && _IsBalance(root->_right);
}

三、AVL树的性能

AVL 树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1 ，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 log2 N 。但是如果要对 AVL 树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的 ( 即不会改变 ) ，可以考虑 AVL 树，但一个结构经常修改，就不太适合。

四、完结撒❀

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C++ AVL树详细讲解

一、AVL树的概念

二、AVL树的实现

1.AVL树节点的定义

2.AVL树的插入

3.AVL树的旋转

4.AVL树的验证

三、AVL树的性能

四、完结撒❀

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