数据结构-二叉树·堆（顺序结构的实现）
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本篇文章对 树的相关概念及结构，二叉树（堆）的概念及结构，二叉树顺序结构及实现的相关知识详细讲解！二叉树链式结构 在下一章讲解！
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目录
一.树的概念及结构
1.1树的概念
相关概念：
1.2树的表示
二.二叉树的概念及结构
2.1二叉树的概念
二叉树：
2.2两个特殊的二叉树
满二叉树：
完全二叉树：
三.二叉树顺序结构及实现
3.1二叉树顺序结构
堆在存储的分类：大根堆，小根堆
3.2二叉树（堆）顺序结构的实现
这里重点分析向上/向下调整的函数
向上调整：
向下调整：
完整代码：Heap.h Heap.c
一.树的概念及结构
1.1树的概念
图一
图二
树是一种非线性的数据结构，它是由k个节点（k>=0）组成的具有层次关系的一个集合，如图一所示，把上图倒过来，如图二所示，看起来像一棵树，所以被叫作树；
类似于树的特点，把最上面的那个结点（A）叫作根结点；
除了根结点，其余的结点又可以分为若干个类似于树的子树，如下图：
所以树是递归定义的；
相关概念：
1.结点的度：及该结点含有子树的个数(有几个孩子)，如上图：1的度为3，2的度为1，4的度为2；
2.叶结点（终端结点）：度为0的结点，如上图的3，5，6，7；
3.分枝结点（非终端结点）：根结点与叶结点以外的结点，如2，4；
4.双亲结点（父结点）：一个结点含有子结点，该结点称为子结点的父结点，如1是2，3，4的父结点，4是6，7的父结点；
5.孩子结点（子结点）：如5是2的子结点，4是1的子结点；
6.兄弟结点：有相同父结点的结点称为兄弟结点，如6，7的父结点都是4，所以6，7是兄弟结点；
7.树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度，如上面的树的度是3（因为1的度最大，为3）；
8.结点的层次：根为第一层，往下一次类推；
9.树的高度（深度）：如上图，树的高度为3；
10.森林：有许多互不相交的树组成的集合；
11.度为0的结点个数为N0，度为2的节点个数为N2；则有N0=N2+1；
1.2树的表示
最常见的是孩子兄弟表示法
双亲表示法（一般使用结构体数组）：只存储双亲的下标或指针；
例如：
上面这个树用双亲表示法表示：
蓝色：存储的该结点的父结点的下标或指针；
没有父亲就存储-1（-1不是个有效的下标）；
二.二叉树的概念及结构
2.1二叉树的概念
二叉树：
1.不存在度大于2的结点的树；最多两个，可以是1个或则0个；
度为0（空树）；
2.二叉树的子树 有左右子树之分，次序不能颠倒，所以二叉树是有序的；
2.2两个特殊的二叉树
满二叉树：
一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，这个数就是满二叉树；
假设一个满二叉树有h层，则该二叉树的总的结点为2^h-1;
完全二叉树：
是一个深度为k的有n个节点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i1≤i≤n的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同；
三.二叉树顺序结构及实现
3.1二叉树顺序结构
根据完全二叉树的特点，可以得出这样的结论：
如果完全二叉树用数组存储，那么可以得到任意一个父结点，可以通过下标找到孩子，通过孩子下标也可以找到父结点的下标；
规律如下：
liftchild = perent*2+1；
rightchild = parent*2+2；
parent = (child-1)/2;
堆在存储的分类：大根堆，小根堆
3.2二叉树（堆）顺序结构的实现
这里重点分析向上/向下调整的函数
向上调整：
思想：将插入的数据尾插到数组里面，根据父结点与孩子结点下标的关系向上比较做调整，如果父亲结点的数据大于（小于）孩子结点，就交换：如图:
实现代码：
//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
HPDataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
//向上调整
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)
{
if (a[parent] > a[child])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
向下调整：
思想：如果我们要删除堆顶（根）的结点，如果直接删除，然后向前覆盖，堆的顺序就会改变，不再是大堆（小堆），如图，这里就需要用到向下调整，先将最后一个数据与第一个数据交换，再将最后一个数据删除，这样保证了除了根，下面的结点都是大堆（小堆）；
然后再用根和两个孩子中较小的一个交换，一次向下重复以上动作，图解如下：
实现代码：
//向下调整
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
assert(a);
int child = parent * 2 + 1;
while (childa = NULL;
php->capacity = 0;
php->size = 0;
}
void HeapInitArray(Heap* php,int* a,int n)
{
assert(a);
assert(php);
php->a = (HPDataType*)malloc( n * sizeof(int));
if (php->a == NULL)
{
perror("malloc fail");
exit(-1);
}
memcpy(php->a, a, n * sizeof(int));
//向上调整建堆
for (int i = 1; i a, i);
}
php->size = n;
php->capacity = n;
}
void HeapDestory(Heap* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->capacity = php->size = 0;
}
void HeapPrintf(Heap* php)
{
assert(php);
for (int i = 0; i size; i++)
{
printf("%d ",php->a[i]);
}
printf("\n");
}
//交换函数
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{
HPDataType tmp = *x;
*x = *y;
*y = tmp;
}
//向上调整函数
void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{
assert(a);
int parent = (child - 1) / 2;
while (child>0)
{
if (a[parent] > a[child])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
child = parent;
parent = (parent - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
//向下调整函数
void Adjustdown(HPDataType* a, int parent,int n)
{
assert(a);
int child = parent * 2 + 1;
while (childcapacity == php->size)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
exit(-1);
}
php->a=tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
Adjustup(php->a,php->size-1);
}
//删除堆顶结点
void HeapPop(Heap* php)
{
assert(php);
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
Adjustdown(php->a, 0,php->size);
}
//取出堆顶数据的函数
HPDataType HeapTop(Heap* php)
{
assert(php);
return php->a[0];
}
//判空函数
bool HeapEmpty(Heap* php)
{
assert(php);
return php->size;
}
