数据库系统概论——关系代数详解
文章目录
- 1、关系代数概述
- 1.1 传统的集合运算
- 1.2 专门的关系运算
- 1.2.1 选择运算
- 1.2.2 投影（Projection）
- 1.2.3 连接（Join）
- 1.2.4 两类常用连接运算
- 1.2.5 除（Division）
1、关系代数概述
关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是利用对关系的运算来表达查询的。
任何运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
在关系代数运算中，有5种基本运算，它们是并（U）、差（—）、投影、选择、笛卡尔积（X），其它运算即交、连接和除，均可通过5种基本的运算来表达 。
运算符：
- 集合运算符
- 将关系看成元组的集合
- 从关系的“水平”方向即行的角度来进行运算
- 专门的关系运算符
- 不仅涉及行而且涉及列
- 算术比较符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
- 逻辑运算符
- 辅助专门的关系运算符进行操作
常见的关系运算符如下：
1.1 传统的集合运算
设关系 R R R和关系 S S S是相容的， t t t代表元组变量，现将各种运算分别介绍如下：
（1）并（Union）
- 关系 R R R与关系 S S S的并记作： R ∪ S = { t ∣ t ∈ R ∨ t ∈ S } R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \} R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
- 结果关系是由属于
R
R
R或属于
S
S
S的元组组成，且结果仍为
n
n
n目关系，但结果关系要消除重复元组。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n（即两个关系都有n个属性）
- 相应的属性取自同一个域
R ∪ S R∪S R∪S
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R或属于
S
S
S的元组组成
-
R
∪
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∨
t
∈
S
}
R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}
R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
具体如下图所示：
（2）交（ Intersection）
- 关系 R R R与关系 S S S的交记作： R ∩ S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∈ S } R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \} R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
- 结果关系由既属于
R
R
R又属于
S
S
S的元组组成，且仍为
n
n
n目关系。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R ∩ S R∩S R∩S
- 仍为
n
n
n目关系，由既属于
R
R
R又属于
S
S
S的元组组成
-
R
∩
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∧
t
∈
S
}
R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}
R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
具体如下图所示：
（3）差（Difference）
- 关系R与关系S的差记作： R − S = { t ∣ t ∈ R ∧ t ∉ S } R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\} R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
-
R
R
R和
S
S
S的差，结果关系由属于
R
R
R而不属于
S
S
S的所有元组组成，且仍为
n
n
n目关系,即在关系
R
R
R中减去
R
R
R和
S
S
S的相同元组。
举例：
R R R和 S S S
- 具有相同的目 n n n
- 相应的属性取自同一个域
R − S R - S R−S
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R而不属于
S
S
S的所有元组组成
-
R
−
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∧
t
∉
S
}
R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}
R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
（4）广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product）
- 两个分别为 n n n目和 m m m目的关系， R R R和 S S S的广义笛卡尔积是一个 ( n + m ) (n+m) (n+m)列的元组的集合。
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组，后 m m m列是关系 S S S的一个元组。若 R R R有 k 1 k_1 k1个元组， S S S有 k 2 k_2 k2个元组，则关系 R R R和关系 S S S的广义笛卡尔积有 k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组。
- 记作：
R
×
S
=
{
(
a
1
,
a
2
,
…
a
m
,
b
1
,
b
2
,
…
b
n
)
∣
(
a
1
,
a
2
,
…
a
m
)
∈
R
∧
(
b
1
,
b
2
,
…
b
n
)
∈
S
}
。
R×S=\{(a_1,a_2,…a_m,b_1,b_2,…b_n)| (a_1,a_2,…a_m) ∈R ∧ (b_1,b_2,…b_n) ∈ S\}。
R×S={(a1,a2,…am,b1,b2,…bn)∣(a1,a2,…am)∈R∧(b1,b2,…bn)∈S}。
严格地讲应该是广义的笛卡尔积
- R R R: n n n目关系， k 1 k_1 k1个元组
-
S
S
S:
m
m
m目关系，
k
2
k_2
k2个元组
R × S R×S R×S
-
列: m + n m+n m+n列元组的集合
- 元组的前 n n n列是关系 R R R的一个元组
- 后 m m m列是关系 S S S的一个元组
-
行： k 1 × k 2 k_1×k_2 k1×k2个元组
具体如下图所示：
1.2 专门的关系运算
在讲解之前，我们先引入几个记号，这样有助于下面的理解，确实关系代数后半部分有点难理解。
（1） R , t ∈ R , t [ A i ] R,t\in R,t[A_i] R,t∈R,t[Ai]
设关系模式为 R ( A 1 ， A 2 ， … ， A n ) R(A_1，A_2，…，A_n) R(A1，A2，…，An)，它的一个关系设为 R R R， t ∈ R t\in R t∈R表示 t t t是 R R R的一个元组， t [ A i ] t[A_i] t[Ai]则表示元组t中相应于属性 A i A_i Ai的一个分量。
（2） t r t s ⏞ \overbrace{t_rt_s} trts ， R R R为 n n n目关系， S S S为 m m m目关系。
t r ∈ R ， t s ∈ S ， t r t s ⏞ t_r\in R，t_s\in S， \overbrace{t_r t_s} tr∈R，ts∈S，trts 称为元组的连接。 t r t s ⏞ \overbrace{t_r t_s} trts 是一个 n + m n + m n+m列的元组，前 n n n个分量为 R R R中的一个 n n n元组，后 m m m个分量为 S S S中的一个 m m m元组。
（3）象集 Z x Z_x Zx
给定一个关系 R （ X , Z ） R（X,Z） R（X,Z）， X X X和 Z Z Z为属性组。当 t [ X ] = x t[X]=x t[X]=x时， x x x在 R R R中的象集（Images Set）为：
Z x = t [ Z ] ∣ t ∈ R ， t [ X ] = x Z_x={t[Z]|t \in R，t[X]=x} Zx=t[Z]∣t∈R，t[X]=x
它表示 R R R中属性组 X X X上值为 x x x的诸元组在 Z Z Z上分量的集合。
举例如下：
上面抽象的例子可能并不是特别容易理解，那么我们就拿生活中的实际例子进行解释：
学生-课程-选修关系:
学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
在上面的关系表中，我们可以把SC表看作一个关系R，它的属性组为学号，课程号以及成绩，即 R ( S n o , C n o , G r a d e ) R(Sno, Cno, Grade) R(Sno,Cno,Grade)。这时我们将SC表与上面那个例子对比可以看出，Sno为200215121的学号在关系R（SC表）中的象集为 S n o 200215121 = { 1 ， 2 ， 3 } Sno_{200215121}=\{1，2，3\} Sno200215121={1，2，3}，以此类推，这样就比较容易理解一点。
1.2.1 选择运算
- 选择又称为限制
- 选择运算符的含义
- 关系R上的选择操作是根据某些条件对关系R做水平分割，即从行的角度选择符合条件的元组。
- 在关系R中选择满足给定条件的诸元组
- 记作： σ F （ R ） = { t ∣ t ∈ R ∧ F ( t ) = ‘真’ } σF（R）=\{t|t∈R∧F(t)=‘真’\} σF（R）={t∣t∈R∧F(t)=‘真’}
- F：选择条件，是一个逻辑表达式，取逻辑值“真”或“假”。
- 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运算
F：选择条件，是一个逻辑表达式
- 基本形式为： X 1 θ Y 1 X_1θY_1 X1θY1
- θ θ θ：比较运算符 （＞， ≥ ，＜， ≤ ，＝或 ） （＞，≥，＜，≤，＝或） （＞，≥，＜，≤，＝或）
- X 1 ， Y 1 X_1，Y_1 X1，Y1：属性名、常量、简单函数.
- 属性名也可以用它的序号来代替；
以最上面的学生-课程-选修关系表举例说明更好理解：
[例1] 查询信息系（IS系）全体学生
σ S d e p t = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) 或 σ 5 = ′ I S ′ ( S t u d e n t ) σ_{Sdept} = 'IS' (Student) 或 σ_5 ='IS'(Student) σSdept=′IS′(Student)或σ5=′IS′(Student)
结果：
[例2] 查询年龄小于20岁的学生
σ S a g e
-
-
R
−
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∧
t
∉
S
}
R-S=\{t|t∈R ∧t \notin S\}
R−S={t∣t∈R∧t∈/S}
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R而不属于
S
S
S的所有元组组成
-
R
∩
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∧
t
∈
S
}
R∩S=\{t|t∈R∧t∈S \}
R∩S={t∣t∈R∧t∈S}
- 仍为
n
n
n目关系，由既属于
R
R
R又属于
S
S
S的元组组成
-
R
∪
S
=
{
t
∣
t
∈
R
∨
t
∈
S
}
R∪S=\{t|t∈R∨t∈S \}
R∪S={t∣t∈R∨t∈S}
- 仍为
n
n
n目关系，由属于
R
R
R或属于
S
S
S的元组组成
- 辅助专门的关系运算符进行操作
- 集合运算符
