变分法笔记3：多变量函数

设 B B B是 R n \mathbb{R}^n Rn中的一个区域， x = ( x 1 , … , x n ) x = (x_1, \ldots, x_n) x=(x1​,…,xn​)。对于函数 u : R n → R u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} u:Rn→R，我们定义泛函

J ( u ) = ∫ B L ( x , u ( x ) , ∇ u ( x ) )   d x J(u) = \int_B L(x, u(x), \nabla u(x)) \, dx J(u)=∫B​L(x,u(x),∇u(x))dx

。拉格朗日量 L L L是一个具有 2 n + 1 2n + 1 2n+1个参数的函数。

a. 泛函 J J J的定义域 D D D是一组光滑函数 u u u，即 D D D中的每个成员都具有我们需要的任意阶连续偏导数。

b. 与单变量情况一样，我们通常会对 u u u施加边界条件：

u ( x ) ∣ x ∈ ∂ B = f ( x ) , ( 1 ) u(x) \Big|_{x \in \partial B} = f(x), \quad (1) u(x) ​x∈∂B​=f(x),(1)

对于某些预设的函数 f : R n → R f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} f:Rn→R。

c. 可接受变分的类 A A A由在 B B B的边界上消失的光滑函数 h : R n → R h : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} h:Rn→R组成：

h ( x ) ∣ x ∈ ∂ B = 0. ( 2 ) h(x) \Big|_{x \in \partial B} = 0. \quad (2) h(x) ​x∈∂B​=0.(2)

对于 k = 1 , … , n k = 1, \ldots, n k=1,…,n，设

u x k = ∂ u ∂ x k u_{x_k} = \frac{\partial u}{\partial x_k} uxk​​=∂xk​∂u​

。定义一个向量场为

F = ( ∂ L ∂ u x 1 , … , ∂ L ∂ u x n ) F = \left( \frac{\partial L}{\partial u_{x_1}}, \ldots, \frac{\partial L}{\partial u_{x_n}} \right) F=(∂ux1​​∂L​,…,∂uxn​​∂L​)

。那么，泛函 J J J在 u u u处沿方向 h h h的Gâteaux变分是

δ J ( u , h ) = d d ϵ J ( u + ϵ h ) ∣ ϵ = 0 = ∫ B ( ∂ L ∂ u h + ∑ k = 1 n ∂ L ∂ u x k h x k ) d x = ∫ B ( ∂ L ∂ u − div F ) h   d x + ∫ ∂ B h F ⋅ ν   d S \delta J(u, h) = \left. \frac{d}{d\epsilon} J(u + \epsilon h) \right|_{\epsilon=0} = \int_B \left( \frac{\partial L}{\partial u} h + \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial L}{\partial u_{x_k}} h_{x_k} \right) dx = \int_B \left( \frac{\partial L}{\partial u} - \text{div} F \right) h \, dx + \int_{\partial B} h F \cdot \nu \, dS δJ(u,h)=dϵd​J(u+ϵh) ​ϵ=0​=∫B​(∂u∂L​h+k=1∑n​∂uxk​​∂L​hxk​​)dx=∫B​(∂u∂L​−divF)hdx+∫∂B​hF⋅νdS

= ∫ B ( ∂ L ∂ u − ∑ k = 1 n ∂ 2 L ∂ x k ∂ u x k ) h   d x . ( 3 ) = \int_B \left( \frac{\partial L}{\partial u} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 L}{\partial x_k \partial u_{x_k}} \right) h \, dx. \quad (3) =∫B​(∂u∂L​−k=1∑n​∂xk​∂uxk​​∂2L​)hdx.(3)

泛函 J J J的一个极值函数是 u ∈ D u \in D u∈D，使得

δ J ( u , h ) = 0 , ( 4 ) \delta J(u, h) = 0, \quad (4) δJ(u,h)=0,(4)

对于所有可接受的变分 h h h。由(3)知，如果 u u u满足欧拉方程

∂ L ∂ u − ∑ k = 1 n ∂ 2 L ∂ x k ∂ u x k = 0 , ( 5 ) \frac{\partial L}{\partial u} - \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 L}{\partial x_k \partial u_{x_k}} = 0, \quad (5) ∂u∂L​−k=1∑n​∂xk​∂uxk​​∂2L​=0,(5)

则 u u u是一个极值函数。像往常一样，我们在 J J J的极值函数中寻找 J J J的最小值。

例子：设 Γ \Gamma Γ是 R 3 \mathbb{R}^3 R3中的一条光滑闭合曲线，其投影 C C C位于 x 1 x 2 x_1x_2 x1​x2​-平面上。设 B B B是由 C C C包围的区域，使得 C = ∂ B C = \partial B C=∂B。选择一个函数 f : R 2 → R f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} f:R2→R，其图像通过 Γ \Gamma Γ。假设你需要找到覆盖在 Γ \Gamma Γ上的平滑曲面的面积。如果曲面是函数 x 3 = u ( x 1 , x 2 ) x_3 = u(x_1, x_2) x3​=u(x1​,x2​)的图像，则

a. u u u应该是光滑的，

b. u u u应该满足边界条件

u ∣ ∂ B = f . ( 6 ) u \Big|_{\partial B} = f. \quad (6) u ​∂B​=f.(6)

覆盖在 B B B上的 u u u图像部分的曲面面积是

J ( u ) = ∫ B ( 1 + ( u x 1 ) 2 + ( u x 2 ) 2 ) d x 1 d x 2 = ∫ B ( 1 + ∣ ∇ u ∣ 2 ) d x 1 d x 2 J(u) = \int_B \left( 1 + (u_{x_1})^2 + (u_{x_2})^2 \right) dx_1 dx_2 = \int_B \left( 1 + |\nabla u|^2 \right) dx_1 dx_2 J(u)=∫B​(1+(ux1​​)2+(ux2​​)2)dx1​dx2​=∫B​(1+∣∇u∣2)dx1​dx2​

拉格朗日量 L L L为 J J J是

L = L ( ∇ u ) = 1 + ∣ ∇ u ∣ 2 . ( 7 ) L = L(\nabla u) = \sqrt{1 + |\nabla u|^2}. \quad (7) L=L(∇u)=1+∣∇u∣2 ​.(7)

寻找由 Γ \Gamma Γ界定的最小面积曲面是Plateau问题。解决方案以 J J J的最小值 u ∗ ∈ D u^* \in D u∗∈D的形式出现。由于 u ∗ u^* u∗将在极值函数中找到，我们解决欧拉方程(5)，满足边界条件(6)。有了拉格朗日量(7)，欧拉方程是

∂ ∂ x 1 ( u x 1 1 + ∣ ∇ u ∣ 2 ) + ∂ ∂ x 2 ( u x 2 1 + ∣ ∇ u ∣ 2 ) = 0 , ( 8 ) \frac{\partial}{\partial x_1} \left( \frac{u_{x_1}}{1 + |\nabla u|^2} \right) + \frac{\partial}{\partial x_2} \left( \frac{u_{x_2}}{1 + |\nabla u|^2} \right) = 0, \quad (8) ∂x1​∂​(1+∣∇u∣2ux1​​​)+∂x2​∂​(1+∣∇u∣2ux2​​​)=0,(8)

这简化为

( 1 + ( u x 2 ) 2 ) u x 1 x 1 − 2 u x 1 u x 2 u x 1 x 2 + ( 1 + ( u x 1 ) 2 ) u x 2 x 2 = 0. ( 9 ) (1 + (u_{x_2})^2) u_{x_1 x_1} - 2 u_{x_1} u_{x_2} u_{x_1 x_2} + (1 + (u_{x_1})^2) u_{x_2 x_2} = 0. \quad (9) (1+(ux2​​)2)ux1​x1​​−2ux1​​ux2​​ux1​x2​​+(1+(ux1​​)2)ux2​x2​​=0.(9)

这个二阶非线性椭圆型偏微分方程称为最小曲面方程。满足边界条件(6)的解 u u u是 J J J的极值函数。

例子： u : R n → R u : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} u:Rn→R的拉普拉斯算子是

Δ u = ∑ k = 1 n ∂ 2 u ∂ x k 2 \Delta u = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} Δu=k=1∑n​∂xk2​∂2u​

对于 R n \mathbb{R}^n Rn中的区域 B B B，设

J ( u ) = 1 2 ∫ B ∣ ∇ u ∣ 2   d x J(u) = \frac{1}{2} \int_B |\nabla u|^2 \, dx J(u)=21​∫B​∣∇u∣2dx

J J J的欧拉方程是

Δ u = 0 \Delta u = 0 Δu=0

这是拉普拉斯方程。

对于给定的函数 ρ ( x ) \rho(x) ρ(x)，设

J ( u ) = ∫ B ρ ( x ) u + 1 2 ∣ ∇ u ∣ 2   d x J(u) = \int_B \rho(x) u + \frac{1}{2} |\nabla u|^2 \, dx J(u)=∫B​ρ(x)u+21​∣∇u∣2dx

欧拉方程是

Δ u = ρ ( x ) \Delta u = \rho(x) Δu=ρ(x)

这是泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程都是应用数学中的基本偏微分方程。