【数据结构】：时间和空间复杂度

目录

如何衡量一个代码的好坏

时间复杂度

概念

计算方法

实例计算

【实例1】

【实例2】

【实例3】

【实例4】：冒泡排序的时间复杂度

【实例5】：二分查找的时间复杂度

【实例6】：阶乘递归的时间复杂度

【实例7】：斐波那契递归的时间复杂度

空间复杂度

概念

实例计算

【实例1】：冒泡排序的空间复杂度

【实例2】：斐波那契的空间复杂度

---

如何衡量一个代码的好坏

• 算法效率分析分为两种
  1. 时间效率，称为时间复杂度，主要是用来衡量算法的运行速度
  2. 空间效率，称为空间复杂度，主要是用来衡量实现一个算法需要的额外空间

  时间复杂度

  概念

  定义

  • 算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间
  • 一个算法所花费的时间与其语句中的执行次数成正比，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度

    计算方法

    void func1(int N){
    	int count = 0;
    	for (int i = 0; i N*N
    		}   
    	}
    	for (int k = 0; k N*2
    	}    
    	int M = 10;    
    	while ((M--) > 0) {        
    		count++;           //————>10
    	}    
    	System.out.println(count); 
    }
    

    Func1执行的基本操作次数为：

    

    • N = 10        F(N) = 130
    • N = 100      F(N) = 10210
    • N = 1000    F(N) = 1002010

      推导大O阶方法（大O符号，用于描述函数渐进行为的数学符号）

      • 用常数 1 取代运行时间中的所有加法常数
      • 在修改后的运行次数函数中，只保留最高项
      • 如果最高阶存在且不为 1，则去除与这个项相乘的常数
      • 使用大O阶渐进表示法后，func的时间复杂度为：

        实例计算

        【实例1】

        //计算func2的时间复杂度
        void func2(int N) {    
        	int count = 0;    
        	for (int k = 0; k N*2
        	}    
        	int M = 10;    
        	while ((M--) > 0) {        
        		count++;         //————>10
        	}    
        	System.out.println(count); 
        }
        

        • func2的时间复杂度为： 即 

          【实例2】

          //计算func3的时间复杂度
          void func3(int N, int M) {    
          	int count = 0;    
          	for (int k = 0; k M
          	}    
          	for (int k = 0; k N
          	}    
          	System.out.println(count); 
          }
          

          • func3的时间复杂度为：

            【实例3】

            // 计算func4的时间复杂度
            void func4(int N) {   
            	int count = 0;    
            	for (int k = 0; k 100
            	}    
            	System.out.println(count); 
            }
            

            • func4的时间复杂度为：

              【实例4】：冒泡排序的时间复杂度

              // 计算bubbleSort的时间复杂度
              void bubbleSort(int[] array) {    
              	for (int end = array.length; end > 0; end--) {  //————>(N-1)项
              		boolean sorted = true;        
              		for (int i = 1; i (N-1)+(N-2)+(N-3)+...+1
              			if (array[i - 1] > array[i]) {   //等差数列求和，首：N-1  末：1  项数：N-1
              				Swap(array, i - 1, i);                
              				sorted = false;           
              			}       
              		}        
              		if (sorted == true) {            
              			break;       
              		}   
              	} 
              }
              

              • 第11,12行对代码进行了优化，时间复杂度为：
              • 若无优化，最好和最坏的结果都是： 即 

                【实例5】：二分查找的时间复杂度

                // 计算binarySearch的时间复杂度
                int binarySearch(int[] array, int value) {    
                	int begin = 0;    
                	int end = array.length - 1;    
                	while (begin  value)            
                			end = mid - 1;        
                		else;
                			return mid;   
                	}    
                	return -1; 
                }
                

                • 分一次，还剩  个数；分两次，还剩  个数......分  次，还剩  个数。
                • 在结果最坏时，当只有一个剩余的数的时候，就找到了，所以此时    ，即 
                • binarySearch的时间复杂度为：

                  【实例6】：阶乘递归的时间复杂度

                  // 计算阶乘递归factorial的时间复杂度
                  long factorial(int N) { 
                  	return N  
                   
                   

                  • 递归的复杂度 = 递归的次数 * 每次递归后代码的执行次数
                  • 递归的次数为N；每次递归回来执行三目运算，它的时间复杂度为 
                  • 阶乘递归的时间复杂度为：

                    【实例7】：斐波那契递归的时间复杂度

                    // 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度
                    int fibonacci(int N) { 
                    	return N  
                     
                     
                     

                    • 第 n 层节点个数为： ，则总递归次数为：
                    • 
                    • 每次递归后代码执行三目运算，时间复杂度为：
                    • 斐波那契递归的时间复杂度为：

                      空间复杂度

                      概念

                      • 空间复杂度是对一个算法在运行过程中，临时占用存储空间大小的量度。
                      • 计算规则基本上与时间复杂度一样，也使用大O渐进法表示

                        实例计算

                        【实例1】：冒泡排序的空间复杂度

                        // 计算bubbleSort的空间复杂度
                        void bubbleSort(int[] array) {    
                        	for (int end = array.length; end > 0; end--) {        
                        		boolean sorted = true;        
                        		for (int i = 1; i  array[i]) {                
                        				Swap(array, i - 1, i);                
                        				sorted = false;           
                        			}       
                        		}        
                        		if (sorted == true) {            
                        			break;       
                        		}
                        	}
                        }
                        

                        • 空间复杂度为：

                          【实例2】：斐波那契的空间复杂度

                          // 计算fibonacci的空间复杂度
                          int[] fibonacci(int n) {    
                          	long[] fibArray = new long[n + 1];    
                          	fibArray[0] = 0;    
                          	fibArray[1] = 1;    
                          	for (int i = 2; i