【数据结构】08.堆及堆的应用

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一、堆的概念及结构

堆(Heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵完全二叉树的数组对象。 堆是非线性数据结构，相当于一维数组，有两个直接后继。

如果有一个关键码的集合K = { k₀，k₁，k₂ ，k₃ ，…，kₙ₋₁ }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Kᵢ = K₂ *ᵢ₊₂ ) i = 0，1，2…，则称为小堆 (或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

堆的性质：

  • 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

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    二、堆的实现

    2.1 堆向下调整算法

    现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。

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    //向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child
		//找到两个孩子中小的那个
		if (child + 1  

    2.3 堆的创建
     

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    2.3.1 向下调整建堆的时间复杂度分析
     

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    2.3.2 向上调整建堆的时间复杂度分析
     

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    2.3.3 结论
     

    通过上面的分析我们可以知道向下调整建堆的时间复杂度较小，因此通常情况下来说我们采用向下调整算法建堆。
     

    2.4 堆的插入
     

    先插入一个元素到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
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    //插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x)
{
	assert(ph);
	
	ph->a[ph->size++] = x;
	AdjustUp(ph, ph->size - 1);
}

     

    2.5 堆的删除
     

    删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
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    void HeapPop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	assert(ph->size > 0);
	swap(&ph->a[0],& ph->a[ph->size - 1]);
	ph->size--;
	AdjustDown(ph->a, ph->size, 0);
}

     

    2.6 堆的其他操作
     

    //判空
bool HeapEmpty(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size == 0;
}

     

    //取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->a[0];
}

     

    //堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size;
}

     

    2.7 堆的代码实现
     

    //heap.h
#pragma once
#include
#include
#include
#include
#include
//结点的行为
typedef int HeapDataType;
typedef struct Heap
{
	HeapDataType* a;
	size_t size;
	size_t capacity;
}Heap,* pHeap;
//交换
void swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y);
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent);
//向上调整算法
void AdjustUp(pHeap ph, int child);
//初始化与销毁
void HeapInit(pHeap ph);
void HeapInitByArray(pHeap ph, HeapDataType* arr, int n);
void HeapDestory(pHeap ph);
//插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x);
void HeapPop(pHeap ph);
//判空
bool HeapEmpty(pHeap ph);
//取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph);
//堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph);

     

    //heap.c
//小堆
#include"heap.h"
//交换
void swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{
	HeapDataType temp = *x;
	*x = *y;
	*y = temp;
}
//向下调整算法
void AdjustDown(HeapDataType* arr, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child
		//找到两个孩子中小的那个
		if (child + 1 a = NULL;
	ph->capacity = ph->size = 0;
}
void HeapInitByArray(pHeap ph, HeapDataType* arr, int n)
{
	assert(ph);
	ph->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);
	if (ph->a == NULL)
	{
		perror("HeapInitByArray");
		exit (EXIT_FAILURE);
	}
	memcpy(ph->a, arr, sizeof(HeapDataType) * n);
	ph->capacity = ph->size = n;
	//向上调整建堆:
	//for (int i = 1; i size; i++)
	//{
	//	  AdjustUp(ph->a, i);
	//}
	
	//向下调整建堆:O（N）
	for (int i = (ph->size - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i)
	{
		AdjustDown(ph->a, ph->size, i);
	}
}
void HeapDestory(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	free(ph->a);
	ph->a = NULL;
	ph->capacity = ph->size = 0;
}
//插入与删除数据
void HeapPush(pHeap ph, HeapDataType x)
{
	assert(ph);
	
	ph->a[ph->size++] = x;
	AdjustUp(ph, ph->size - 1);
}
void HeapPop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	assert(ph->size > 0);
	swap(&ph->a[0],& ph->a[ph->size - 1]);
	ph->size--;
	AdjustDown(ph->a, ph->size, 0);
}
//判空
bool HeapEmpty(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size == 0;
}
//取堆顶元素
HeapDataType HeapTop(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->a[0];
}
//堆的元素个数
size_t HeapSize(pHeap ph)
{
	assert(ph);
	return ph->size;
}

     

    三、堆的应用
     

    3.1 堆排序
     
 
 
    堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
     
 
    1. 建堆
      升序：建大堆
      降序：建小堆
    2. 利用堆删除思想来进行排序
      建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
      【数据结构】08.堆及堆的应用
    void HeapSort(int* arr, int n)
{
	//建小堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(arr, n, i);
	}
	//降序
	int end = n - 1;
	while (end)
	{
		swap(&arr[end], &arr[0]);
		end--;
		AdjustDown(arr, end, 0);
	}
}

     

    3.2 TOP K 问题
     

    TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
    比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
    对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
     
 
 
    1. 用数据集合中前K个元素来建堆
      前k个最大的元素，则建小堆
      前k个最小的元素，则建大堆
    2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素，将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
    void CreateDate()
{
	// 造数据
	int n = 100000;
	srand(time(0));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
	for (int i = 0; i = 0; i--)
	{
		AdjustDown(minheap, k, i);
	}
	int x = 0;
	while (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF)
	{
		// 读取剩余数据，比堆顶的值大，就替换他进堆
		if (x > minheap[0])
		{
			minheap[0] = x;
			AdjustDown(minheap, k, 0);
		}
	}
	for (int i = 0; i
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