贪心算法 Greedy Algroithm

贪心算法简介

贪心算法是一种在每一步选择中都采取在当前看来最好选择的算法。它的基本思想是从问题的某个初始解出发，通过一步步地进行，根据某个优化测度，每一步都要确保能获得局部最优解。贪心算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度做最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间。贪心算法采用自顶向下的方法，以迭代的方式做出相继贪心的选择，可得到问题的一个最优解。虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解不一定是最优的，所以贪心算法不要回溯。

贪心算法的应用场景

贪心算法的应用非常广泛，包括但不限于最短路径问题、单位密度问题。这些问题的共同特点是可以通过贪婪选择属性与最优子结构属性，利用贪心算法解决。贪婪选择属性指的是通过在每个步骤中选择最优选择，可以得到一个全局(总体)最优解。

贪心算法的经典例子

1.找零钱问题（Greedy Chang-Making Problem）

假设有一定面值的纸币和硬币，当要找零钱时，贪心算法会选择最大面值的纸币和硬币，当要找零钱时，贪心算法会选择最大面值的纸币或硬币，直到零钱找完。

import java.util.Arrays;
public class GreedyAlgorithm {
    public static void main(String[] args) {
        int totalAmount = 16;
        int[] coins = {1, 2, 5, 10};
        int[] change = getChange(totalAmount, coins);
        System.out.println("Change: " + Arrays.toString(change));
    }
    public static int[] getChange(int totalAmount, int[] coins) {
        int[] change = new int[coins.length];
        int remainingAmount = totalAmount;
        for (int i = coins.length - 1; i >= 0; i--) {
            int numCoins = remainingAmount / coins[i];
            change[i] = numCoins;
            remainingAmount -= numCoins * coins[i];
        }
        return change;
    }
}
 

2.区间调度问题（Interval Scheduling Problem）

假设有一系列的任务需要在特定时间完成，每个任务都有一个开始时间和结束时间，贪心算法会优先选择结束时间最早的任务，然后选择下一个结束时间最早的任务，一次类推。

区间调度问题是指给定一组区间，找到能够完全覆盖这些区间的最少的区间数。这个问题可以使用贪心算法来解决。

贪心算法的思路是，先按照区间的结束时间进行排序，然后从第一个区间开始遍历，依次选取结束时间最早的区间，并且这个区间的开始时间要晚于前一个区间的结束时间。这样就可以保证选取的区间数最少。

下面是用Java实现的代码：

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;
public class IntervalSchedule {
    public static int intervalSchedule(int[][] intervals) {
        //按结束时间对区间进行排序
        Arrays.sort(intervals, Comparator.comparingInt(a -> a[1]));
        int count = 1;  //选取的区间数
        int end = intervals[0][1];  //当前选择的区间的结束时间
        for (int i = 1; i = end) {
                //如果当前区间的开始时间晚于前一个区间的结束时间，可以选择这个区间
                count++;
                end = intervals[i][1];
            }
        }
        return count;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[][] intervals = {{1, 3}, {2, 4}, {3, 6}, {4, 7}, {5, 8}};
        int result = intervalSchedule(intervals);
        System.out.println("最少的区间数为：" + result);
    }
}

运行结果为：

最少的区间数为：3

注意，这里假设输入的区间数组是已经合法的，即每个区间的开始时间都小于结束时间。如果区间数组未按照开始时间进行排序，可以先进行排序再使用贪心算法。

3.分数背包问题（Fractional Knapsack Problem）

假设有一系列物品和一个背包，每个物品有自己的重量和价值，贪心算法会先选择性价比最高的物品放入背包，直到背包装满或者物品用完。

import java.util.ArrayList;
import java.util.Comparator;
import java.util.List;
class Item {
    int weight;
    int value;
    public Item(int weight, int value) {
        this.weight = weight;
        this.value = value;
    }
}
class FractionalKnapsack {
    public static double getMaxValue(List items, int capacity) {
        // 排序，按照单位价值从高到低排序
        items.sort(Comparator.comparingDouble(o -> (double) o.value / o.weight));
        double totalValue = 0;
        for (Item item : items) {
            if (capacity >= item.weight) {
                // 如果背包容量可以装下当前物品，则装入整个物品
                totalValue += item.value;
                capacity -= item.weight;
            } else {
                // 否则，计算当前物品的单位价值，装入剩余容量的物品
                totalValue += item.value * ((double) capacity / item.weight);
                break;
            }
        }
        return totalValue;
    }
    public static void main(String[] args) {
        List items = new ArrayList();
        items.add(new Item(10, 60));
        items.add(new Item(20, 100));
        items.add(new Item(30, 120));
        int capacity = 50;
        double maxValue = getMaxValue(items, capacity);
        System.out.println("最大价值为：" + maxValue);
    }
}

4.最小生成树问题（Minimum Spanning Tree Problem）

假设有一张图，贪心算法会先选择连接两个点之间最短的边，然后选择下一个最短的边，直到所有的点都被连接。

贪心算法解决最小生成树问题的一种实现方式是使用Prim算法。以下是一个使用Java语言实现的Prim算法示例代码：

import java.util.*;
class PrimMST {
    private int V; // 图的顶点数
    private int[][] graph; // 图的邻接矩阵表示
    public PrimMST(int v, int[][] graph) {
        V = v;
        this.graph = graph;
    }
    // 寻找最小生成树
    public void findMST() {
        boolean[] visited = new boolean[V]; // 记录顶点是否访问过
        int[] parent = new int[V]; // 记录最小生成树的父节点
        int[] key = new int[V]; // 记录顶点到最小生成树的最小权值
        // 初始化key数组
        Arrays.fill(key, Integer.MAX_VALUE);
        // 第一个顶点作为最小生成树的根节点
        key[0] = 0;
        parent[0] = -1;
        for (int i = 0; i  
这是一个简单的Prim算法实现，假设图的顶点数为5，使用邻接矩阵表示图的连接关系。在findMST()方法中，我们使用一个visited数组来记录顶点是否已经访问过，使用parent数组来记录最小生成树的父节点，使用key数组来记录顶点到最小生成树的最小权值。在每次循环找到key值最小的顶点后，我们将其标记为已访问，并更新其相邻顶点的key值和parent值。最后，输出最小生成树的边和权值。
 
在main()方法中，我们使用一个邻接矩阵来表示图，并创建一个PrimMST对象来求解最小生成树。运行代码后，将输出最小生成树的边和权值。
 
5.哈夫曼编码问题（Huffman Coding Problem）
 
假设有一系列的字符和它们对应的频率，在使用最少的比特数来编码字符的同时，贪心算法会优先选择频率最高的字符编码长度最短。
下面是用Java实现贪心算法哈夫曼编码的示例代码：
 
import java.util.PriorityQueue;
class HuffmanTreeNode implements Comparable {
    int frequency;
    char data;
    HuffmanTreeNode left, right;
    public HuffmanTreeNode(char data, int frequency) {
        this.data = data;
        this.frequency = frequency;
    }
    @Override
    public int compareTo(HuffmanTreeNode node) {
        return this.frequency - node.frequency;
    }
}
public class HuffmanEncoding {
    public static void main(String[] args) {
        String input = "Hello, world!";
        HuffmanTreeNode root = buildHuffmanTree(input);
        String encodedString = encode(input, root);
        String decodedString = decode(encodedString, root);
        System.out.println("Input: " + input);
        System.out.println("Encoded String: " + encodedString);
        System.out.println("Decoded String: " + decodedString);
    }
    public static HuffmanTreeNode buildHuffmanTree(String input) {
        int[] frequencyTable = new int[256];
        for (char c : input.toCharArray()) {
            frequencyTable[c]++;
        }
        PriorityQueue priorityQueue = new PriorityQueue();
        for (int i = 0; i  0) {
                priorityQueue.add(new HuffmanTreeNode((char) i, frequencyTable[i]));
            }
        }
        while (priorityQueue.size() > 1) {
            HuffmanTreeNode leftNode = priorityQueue.poll();
            HuffmanTreeNode rightNode = priorityQueue.poll();
            HuffmanTreeNode newNode = new HuffmanTreeNode('\0', leftNode.frequency + rightNode.frequency);
            newNode.left = leftNode;
            newNode.right = rightNode;
            priorityQueue.add(newNode);
        }
        return priorityQueue.poll();
    }
    public static String encode(String input, HuffmanTreeNode root) {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        for (char c : input.toCharArray()) {
            sb.append(getEncodedString(c, root));
        }
        return sb.toString();
    }
    private static String getEncodedString(char c, HuffmanTreeNode root) {
        if (root == null) {
            return "";
        }
        if (root.data == c) {
            return "";
        }
        String left = getEncodedString(c, root.left);
        if (left != null) {
            return "0" + left;
        }
        String right = getEncodedString(c, root.right);
        if (right != null) {
            return "1" + right;
        }
        return null;
    }
    public static String decode(String encodedString, HuffmanTreeNode root) {
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        HuffmanTreeNode currentNode = root;
        for (char c : encodedString.toCharArray()) {
            if (c == '0') {
                currentNode = currentNode.left;
            } else if (c == '1') {
                currentNode = currentNode.right;
            }
            if (currentNode.data != '\0') {
                sb.append(currentNode.data);
                currentNode = root;
            }
        }
        return sb.toString();
    }
}
 
此代码实现了一个HuffmanEncoding类，其中buildHuffmanTree方法用于构建Huffman树，encode方法用于将字符串编码为Huffman编码，decode方法用于将Huffman编码解码为原始字符串。
 
在main方法中，我们首先创建一个HuffmanEncoding对象，并将要编码的字符串作为输入进行编码。然后，我们将编码后的字符串进行解码，并将结果打印出来。