图像处理与视觉感知复习--频率域图像增强&图像变换

文章目录

• 图像变换与信号分解
• 正弦信号与傅里叶级数
• 傅里叶变换
• 离散傅里叶变换(DFT)
• 频率域滤波

  图像变换与信号分解

  空间域：就是像素域，在空间域的处理是在像素级的处理，如像素级的叠加。

  频率域：任何一个波形都可以分解用多个正弦波之和。每个正弦波都有自己的频率和振幅。所以任意一个波形信号又自己的频率和振幅的集合。

  

  为了有效和快速的对图像进行处理和分析，常常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用这些空间的特有性质方便地进行一定的加工，最后在转换回图像空间以得到所需要的效果。这些转换方法称为图像变换技术。

  傅里叶变换也被喻为图像的第二种语言。

  信号频谱代表了信号在不同频率分量成分的大小，能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

  正弦信号与傅里叶级数

  两个函数正交的充要条件是：他们的内积为0

  Q&A:

  1. 怎样的信号是我们需要的“简单”信号？

     正交信号 { 正、余弦三角函数 复指数函数 正交信号 \begin{cases} 正、余弦三角函数\\ \\ 复指数函数 \end{cases} 正交信号⎩ ⎨ ⎧​正、余弦三角函数复指数函数​

  2. 他们遵循什么样的组合规律？

  定理1：组成三角级数的函数系 1 , cos ⁡ x , sin ⁡ x , c o s 2 x , s i n 2 x , . . . , c o s   n x , s i n   n x 1, \cos x, \sin x, cos 2x, sin 2x, ..., cos\ nx, sin\ nx 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,...,cos nx,sin nx在 [ − π , π ] [- \pi, \pi] [−π,π] 上正交， 即其中任意两个不同的函数之积在 [ − π , π ] [-\pi, \pi] [−π,π] 上的积分等于0

  定理：设周期为 2 l 2l 2l 的周期函数 f ( x ) f(x) f(x) 满足收敛定理条件，则它的傅里叶展开式为

  f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ n π x l + b n sin ⁡ n π x l ) 其中 { a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) c o s n π x l d x b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) s i n n π x l d x f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n \pi x}{l})\\ 其中\\ \begin{cases} a_n = \frac{1}{l} \displaystyle\int^l_{-l} f(x) cos \frac{n \pi x}{l}dx\\ \\ b_n = \frac{1}{l} \displaystyle\int^l_{-l} f(x) sin \frac{n \pi x}{l} dx \end{cases} f(x)=2a0​​+n=1∑∞​(an​coslnπx​+bn​sinlnπx​)其中⎩ ⎨ ⎧​an​=l1​∫−ll​f(x)coslnπx​dxbn​=l1​∫−ll​f(x)sinlnπx​dx​

  傅里叶变换

  对于周期函数我们可以通过傅里叶级数去描述任何一个周期函数。

  然而，对于非周期函数，我们就需要傅里叶变换而不是傅里叶级数来描述了

  连续时间傅里叶变换：

  X ( j w ) = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j w t d t X(jw) = \int_{- \infty}^{\infty} x(t) e^{-jwt} dt X(jw)=∫−∞∞​x(t)e−jwtdt

  连续时间傅里叶反变换：

  x ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ X ( j w ) e j w d w x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty X(jw) e^{jw} dw x(t)=2π1​∫−∞∞​X(jw)ejwdw

  X ( j w ) X(jw) X(jw) 称为频谱密度函数，简称为频谱。

  欧拉公式：

  e i x = c o s x + i ⋅ s i n x , i 为虚数单位 e^{ix} = cos x + i \cdot sinx, i为虚数单位 eix=cosx+i⋅sinx,i为虚数单位

  常见的傅里叶变换对

  原函数	象函数
  e − β t u ( t ) e^{-\beta t} u(t) e−βtu(t)	1 β + j w \dfrac{1}{\beta + jw} β+jw1​
  δ ( t ) \delta(t) δ(t)	1 1 1
  1 1 1	2 π δ ( w ) 2 \pi \delta(w) 2πδ(w)
  δ ( t − t 0 ) \delta (t - t_0) δ(t−t0​)	e − j w t 0 e^{-jwt_0} e−jwt0​
  u ( t ) u(t) u(t)	1 j w + π δ ( w ) \dfrac{1}{jw} + \pi \delta(w) jw1​+πδ(w)
  s i n w 0 t sin w_0 t sinw0​t	j π [ δ ( w + w 0 ) − δ ( w − w 0 ) ] j \pi [ \delta (w + w_0) - \delta (w - w_0) ] jπ[δ(w+w0​)−δ(w−w0​)]
  c o s w 0 t cos w_0 t cosw0​t	π [ δ ( w + w 0 ) + δ ( w − w 0 ) ] \pi [\delta (w + w_0) + \delta (w - w_0)] π[δ(w+w0​)+δ(w−w0​)]

  其中 u ( t ) u(t) u(t) 为单位脉冲函数 u ( t )    { 1 ,    t > 0 0 ,    t 0 \\ \\ 0, \ \ t 00,  tf(0),f(1),...f(N−1)}。 令 x x x 为离散时变量， u u u 为离散频率变量，则可以将离散傅里叶变换对定义为：0 ,(u,v)=(M/2,N/2)1 ,其他​