基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计

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一、向量模式

1、向量模式原理

1.1

1.2

2、向量模式的MATLAB仿真

3、向量模式的FPGA实现

3.1 预处理

3.2 迭代

3.3 结果计算

一、向量模式

已知直角坐标下一点（x，y），如何求该点在极坐标系的坐标（ρ, $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ）?当x和y都为正数时，有 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ = $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ,求 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 的过程即就是求反正切函数的过程。CORDIC算法的思想就是：将向量（x，y）顺时针旋转一定的度数，如果旋转之后纵坐标为0，那么累计旋转的度数就是 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ，横坐标x的值就是ρ，也就是向量的模长。、

那么每一次旋转的方程都可以这样表示:

上式经过多次迭代之后， $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 就是模长ρ,对于上式迭代有如下化简。

前面通过提取公共系数 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 将乘法的次数减少了一半，进一步化简从 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 入手：除了 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 为1外，其余 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 均为无理数，必须进行乘法操作，但乘法其实也是由多个移位器组成，因此如果旋转某个特殊的 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 值,使得 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 为简单移位操作，则所有的旋转乘法都可以修改为移位算法。

目前能够将乘法变为移位操作的序列通常都是1/2的n次方或者这些数的组合，例如 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ,计算就可以转化为a右移2位，即a>>2。基于这种思想，可以使各次移位的角度满足 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 或者 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ = $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ，计算出正切值如下表所示。

趋近于0即可，因此迭代过程中可将 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 的值忽略为1，这样带来的结果是每次旋转后的新坐标模值都比前一次上，具体情况如下图所示。

在仅求解 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 时可以忽略掉系数 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ ,，但求模值时， $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 每次都会使得横坐标变长， $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 是一系列固定的值，每次迭代过程中可以忽略，在最终计算模长时统一处理。

$基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 每一次都作为乘积因子出现补偿由于旋转作用带来的模长减小，对于确定迭代次数n的方程而言它是一个确定的乘数。

该乘法多项式的极限为：

在每次顺时针旋转后，若纵坐标 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 大于0，说明旋转的度数不够，下一次迭代还要顺时针接着旋转；若纵坐标 $基于FPGA的Cordic向量模式原理及设计$ 小于0，说明旋转的度数太大，下一次迭代就要变为逆时针往回补偿。

顺时针旋转，取1，逆时针则相反。

同时，引入角度累加器参数z用来记录向量的总旋转角度。

综上所述我们得到第i次的迭代方程：

第一步：生成数值表，由数值表，第16次迭代可以达到0.001精度的要求。