【线性代数】【一】1.5 矩阵的逆
文章目录
- 前言
- 一、仍然从线性方程组说起
- 二、逆矩阵的性质
- 总结
前言
本文将介绍线性代数中非常重要也是非常基础的一个概念，叫做矩阵的逆，准确的说，是方阵（行数等于列数）的逆。
（图片来源网络，侵删）先回顾补充一下上篇1.3的一些内容，在上文中介绍了初等变换和单位矩阵的概念，当时忘记明确一点，那就是初等矩阵与单位矩阵都必然是方阵。理由也很简单，我们知道三种初等变换都只是对矩阵的行做加减数乘等操作，并不会改变矩阵的形状大小。那么由矩阵乘法的定义， m × n m\times n m×n的矩阵左乘 n × p n\times p n×p的矩阵结果是 m × p m\times p m×p的矩阵，那么我们左乘的初等变换矩阵就必须是 m = n m=n m=n的方阵了。（单位阵可以看作数乘系数为1的初等矩阵，所以包含在上述情况中了。）
一、仍然从线性方程组说起
对于一个线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b，我们所说的消去法求解就是找到一个初等矩阵积 C = E n . . . E 2 E 1 C=E_n...E_2E_1 C=En...E2E1，用它对系数矩阵做初等变换，得到一个上三角矩阵 C A = U CA=U CA=U，从而可以很简单的求解。
现在，我们先来考虑特殊的情况，当系数矩阵是方阵时，情况会怎么样？如果系数矩阵A退化成 1 × 1 1\times1 1×1，那么我们可以通过化系数为一很简单地求解， A − 1 A x = A − 1 b A^{-1}Ax=A^{-1}b A−1Ax=A−1b，这里 A − 1 A^{-1} A−1就是原系数的倒数。那么，自然会想到的问题就是，如果系数矩阵的尺寸扩展到 n × n n\times n n×n，我们还能找到 A A A的“倒数”，完成化系数为“一”吗？
一个未知数的时候是化系数为一，如果是n个未知数，其实就是化系数矩阵为单位阵。当我们通过消去法最终化简得到的上三角矩阵是一个单位阵时（这种可能性显然是存在的），我们有 C A = I CA=I CA=I，从而有 C A x = C b = x CAx=Cb=x CAx=Cb=x。现在可以直观看到，如果有所谓的矩阵“倒数”，我们就可以非常简单的求解线性方程组，只需要左乘这个矩阵“倒数”即可。这个矩阵“倒数”，就是我们所说的矩阵的“逆”。它的定义是，若矩阵 A B = I = B A AB=I=BA AB=I=BA，则称A和B互为逆矩阵， A A A、 B B B被称为可逆矩阵， A A A的逆矩阵可以记作 A − 1 A^{-1} A−1。
二、逆矩阵的性质
从我们引入逆矩阵的过程可以看到，他与倒数，相反数的定义逻辑非常的相似，就是针对某种运算规则定义一个运算对象的逆元。倒数相反数分别是针对乘法与加法，对“数”这一对象定义出来的逆元，他一个对象及其逆元做该运算，就会得到一个所谓的零元。在加法中零元是0，乘法中零元是1。想必从我举的这个例子应该很容易理解零元了吧，就是对于某个运算“不造成任何影响”的元素。任何数加0等于自身，任何数乘以1也等于自身。方阵中，乘法的零元自然就是单位阵了，加法零元是零矩阵（元素全为0的矩阵）。
下面我们来简单分析一下逆矩阵的性质。首先，矩阵的逆是唯一的吗？乘法中倒数是唯一的这是我们熟知的，在矩阵中这个可能不那么显而易见。我们可以简单用反证法说明一下：（tips：证明唯一性的时候，正向思维就是证明存在形式的唯一性，然而这往往比较难，通过反证法假设不唯一，找到矛盾会比较简单一些。）
证明：
假设矩阵A存在不知一个逆矩阵，任意取其中两个逆矩阵表示为 B ≠ C B\neq C B=C
那么有： A B = A C = I AB=AC=I AB=AC=I
两边同时左乘矩阵B，有 B A B = B A C ， I B = I C , B = C BAB=BAC，IB=IC, B=C BAB=BAC，IB=IC,B=C
其次，另一个问题是，矩阵与其逆矩阵的左乘和右乘结果一定会一样吗？或者说，矩阵的左逆会等于右逆吗？（注意：上面唯一性的证明只用到了左乘。）
证明：假设矩阵A存在两个不同的左逆矩阵与右逆矩阵 B ≠ C B\neq C B=C
那么有： B A = A C = I BA=AC=I BA=AC=I成立
两边同时右乘 C C C,有 B A C = A C C BAC=ACC BAC=ACC
两边式子均先计算 A C AC AC，有 B I = I C , B = C BI=IC,B=C BI=IC,B=C
这里的证明用到了矩阵乘法的性质之一，即满足结合律，可以先计算矩阵连乘中的某两个矩阵的乘积。但是矩阵乘法不满足交换律，即不能交换乘法中两个矩阵的位置。通过这个性质也可以知道，为什么定义逆的时候需要是方阵。
通过定义其实可以得到一个结论，当系数矩阵 A A A为可逆矩阵时，我们一定可以找到一个逆矩阵 A − 1 A^{-1} A−1，使得线性方程组 A − 1 A x = x = A − 1 b A^{-1}Ax=x=A^{-1}b A−1Ax=x=A−1b只有唯一解 A − 1 b A^{-1}b A−1b。从消去法的角度说，我们也一定可以找到一系列初等矩阵的乘积，对系数矩阵做初等变换，使其变成单位阵，即 E n . . E 2 E 1 A = I E_n..E_2E_1A=I En..E2E1A=I。结合两式可得 A − 1 = E n . . . E 2 E 1 A^{-1}=E_n...E_2E_1 A−1=En...E2E1。（因为求解的方式不同并不会改变解本身，由方法一确定了该方程组有唯一解，也就注定了消去法一定能化成单位阵。）
因此我们可以看到，任意一个可逆矩阵，都一定可以写成若干个初等矩阵的乘积的形式；而任意初等矩阵的乘积也一定是可逆矩阵。更进一步，任意个可逆矩阵的乘积，由于每个矩阵都能化成若干初等矩阵的乘积的形式，因此结果仍然为可逆矩阵。由此可以得到任意可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵。
初等矩阵本身，也是可逆矩阵。他们的逆非常容易得到，只要找到能抵消他们操作的初等矩阵即可。这个非常直观，读者可以自己寻找一下每种初等矩阵的逆矩阵。
总结
本文介绍了矩阵中的基础概念——矩阵的逆。结合了以前学过的的代数中的加法乘法运算去帮助更本质更一般地去理解逆元的概念。
