matlab-基于Malthus人口预测模型（笔记）

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Malthus人口预测模型

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P - 人口数量

t - 时间

r - 人口增长率

这个方程的假设体现在:

采用指数增长方程形式,呈指数增长趋势。
增长率r为正常数,不随时间变化。
未考虑人口增长的饱和状态。
未考虑出生率、死亡率等人口学参数。
未考虑人口增长对资源环境的反馈作用。
未考虑经济、政策等外生变量的影响。
未考虑战争、灾害等灾变的影响。
未考虑人口流动对区域分布的影响。
未考虑人口年龄结构、城乡分布等结构性差异。

根据马尔萨斯人口增长模型,人口数量P与时间t的关系可表示为:

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P0 - 初始人口数量

r - 人口增长率

e - 自然常数,约等于2.718

该式表示人口按照指数增长的关系随时间变化,即随着时间的推移,人口数量呈指数增长状态。

这个关系的主要特点有:

当t=0时,P(0)=P0,符合初始人口数量。
当t增大时,P随之快速增长。
增长率和初始人口数量会影响具体的增长速度。
在时间段内呈指数增长,不会出现饱和。
该关系反映了马尔萨斯模型的核心假设。
可以从数据中评估模型的参数P0和r。
可以用于短期人口增长预测。

matlab导入简单数据

year=1790:10:2000;
population=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
p2=log(population);
cftool

由于population人口数量P与时间t的关系不是线性的，所以令p2=log（population）使其变为线性。cftool是app中调用的曲线拟合工具。完成后，我们运行以上代码：

根据提供的代码和数据,使用MATLAB进行马尔萨斯模型的曲线拟合和分析的具体步骤如下:

(1)导入数据:点击“导入数据”,选择p2作为Y数据,year作为X数据。

(2)选择模型:选择“ exponent”指数形式。

(3)点击“拟合”按钮进行拟合。

在拟合类型中选择自定义方程：

r*(x-1790)+log(x0)

所以这个公式的意思是:

(x-1790)计算从初始年份到当前年份的时间跨度
r*(x-1790)计算这段时间内按增长率r的增长量
log(x0)代表初始人口数量对数
加起来则可以拟合整段时间内的人口数量对数

而后在拟合窗口得到结果：

常规模型:

f(x) = r*(x-1790)+log(x0)

系数(置信边界为 95%):

r = 0.02022 (0.01843, 0.02201)

x0 = 6.045 (4.718, 7.372)

拟合优度:

SSE: 1.304

R 方: 0.9652

调整 R 方: 0.9635

RMSE: 0.2553

所以得到人口预测函数方程：

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% 完整过程：
% 定义年份和人口数据
year = 1790:10:2000;  
population = [3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4];
% 对数转换人口数据 
p = log(population);  
% 调用cftool进行曲线拟合
cftool(year,p)
% 在cftool中自定义方程 
fittype('r*(x-1790)+log(x0)')
% 得到拟合方程
fit_eq = 'x=6.045*exp(0.02022*(t-1790))';
% 生成预测年份
year_pred = 1790:1:2020;
% 生成预测数据
population_pred = 6.045*exp(0.02022*(year_pred-1790)); 
% 绘制预测曲线  
plot(year_pred,population_pred,'r-')
% 在同轴上绘制实际数据
hold on
plot(year,population,'bo') 
% 修饰图表
legend('Predicted','Actual')
title('Population Prediction vs Actual')
xlabel('Year'); ylabel('Population') 
hold off