鲁棒优化入门(4)-两阶段鲁棒优化及行列生成算法(C&CG)超详细讲解(附matlab代码)

        本文的主要参考文献：

Zeng B , Zhao L . Solving Two-stage Robust Optimization Problems by A Constraint-and-Column Generation Method[J]. Operations Research Letters, 2013, 41(5):457-461.

1.两阶段鲁棒优化问题的引入

        鲁棒优化是应对数据不确定性的一种优化方法，但单阶段鲁棒优化过于保守。为了解决这一问题，引入了两阶段鲁棒优化(Two-stage Robust Optimization)以及更一般的多阶段鲁棒优化，其核心思想是将决策问题分为两个阶段。第一阶段是进行初步决策，第二阶段是根据第一阶段的决策结果制定更好的决策策略，应对数据不确定性的影响。这种方法可以降低保守性，提高鲁棒性。

        假设一阶段和二阶段决策问题都是线性规划，并且不确定性集合U是一个有限的离散集合或者多面体集。使用y表示第一阶段决策变量，x表示第二阶段决策变量，表示不确定矢量。在此假设下的两阶段鲁棒优化的一般形式为：

其中：

        向量c,b,d,h和矩阵A , G , E , M都是确定性的数值，不确定性体现在向量u上。注意到第二阶段优化的约束条件F(y,u)是关于不确定性u的线性函数。

        原文献中提供了以运输问题作为算例，具体如下：

其中，yi为0-1变量，表示是否在i地建设仓库，zi表示仓库i储存的商品数量，xij表示从i仓库到j客户运送的商品数量，fi表示建设仓库i的固定成本，ai表示仓库i存储商品的单位成本，cij表示从i仓库到j客户运送单位商品的成本，ki表示仓库i的最大容量，dj表示客户j的需求。

        不确定变量为客户的需求，表达方式如下：

        具体算例参数：

        根据上面的公式，我们可以写出各个参数矩阵以及变量的表达式：

        用matlab代码表示：

%% 参数矩阵
f = [400; 414; 326];
a = [18; 25; 20];
k = 800;
C = [22, 33, 24;
     33, 23, 30;
     20, 25, 27];
d_ = [206; 274; 220];
d_wave = 40;
gamma = [1.8,1.2];
P = [1 1;1 1;1 0];
%% 决策变量
y = binvar(3,1);
z = sdpvar(3,1);
x = sdpvar(3,3,’full’);
d = sdpvar(3,1);
g = sdpvar(3,1);

        可以尝试求解一下这个确定性优化问题，和后面的两阶段鲁棒优化进行对比：

%% 目标函数
objective = f'*y + a'*z + sum(sum(C.*x));
%% 约束条件
Constraints = [];
Constraints = [Constraints , z >= 0 , x >= 0 , g >= 0 , g