数据结构——二叉树 原理
1.树
①树的概念
树是一种非线性的数据结构，它是由(>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
- 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、、Tm,其中每一个集合Ti(10，i 位置节点的双亲序号：（i-1）/ 2；i=0, i 为根节点编号，无双亲节点
- 若2i+1=n否则无左孩子
- 若2i+2=n否则无右孩子
④二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。
1.顺序存储
顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的章节会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
2.链式存储
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。
typedef int BTDataType; //二叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pLeft;/指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight;/指向当前节点右孩子 BTDataType _data;//当前节点值域 } //三叉链 struct BinaryTreeNode { struct BinTreeNode* _pParent;//指向当前节点的双亲 struct BinTreeNode* _pLeft;//指向当前节点左孩子 struct BinTreeNode* _pRight;/指向当前节点右孩子 BTDataType_data;//当前节点值域 }3. 二叉树的顺序结构及实现
①二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆（一种二叉树）使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
②堆的概念及结构
如果有一个关键码的集合K={o,k1,2,…,k-1},把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足：K:=K2*i+2)i=0,1,2……,则称为小堆（或大堆）。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
- 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
- 堆总是一棵完全二叉树。
③堆的实现
（1）向下调整算法
现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整。
（2）堆的创建
下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
（3）建堆时间复杂度
因为堆是完全二叉树，而满二叉树也是完全二叉树，此处为了简化使用满二叉树来证明（时间复杂度本来看的就是近似值，多几个节点不影响最终结果)：
（4）堆的插入
先插入一个10到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。
（5）堆的删除
删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据根最后一个数据一换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。
④堆的应用
1.堆排序
堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
（1）建堆
升序：建大堆
降序：建小堆
（2）利用堆删除思想来进行排序
建堆和堆删除中都用到了向下调整，因此掌握了向下调整，就可以完成堆排序。
2.TOP-K问题
TOPK问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最)小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于ToK问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了（可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：
（1）用数据集合中前K个元素来建堆
- 前k个最大的元素，则建小堆
- 前k个最小的元素，则建大堆
（2）用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。
void PrintTopK(int*a,int n,int k) { //1,建堆--用a中前k个元素建堆 //2,将剩余-k个元素依次与堆顶元素交换，不满则则替换 } void TestTopk() { int n=10000; int* a = (int*)malloc(sizeof(int)*n); srand(time()); for (size t i 0;i_left = node2; node1->_right = node4; node2->_left = node3; node4->_left = node5; node4->_right = node6; return node1; }注意：上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是：
1.空树
2.非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。
②二叉树的遍历
（1）前序、中序以及后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：
- 前序遍历(Preorder Traversal亦称先序遍历)一一访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
- 中序遍历(Inorder Traversal))一一访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。
- 后序遍历(Postorder Traversal))一一访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。
前序遍历递归图解：
前序遍历结果：123456
中序遍历结果：321546
后序遍历结果：325641
（2）层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。
//二叉树前序遍历 void PreOrder(BTNode* root); //二叉树中序遍历 void InOrder(BTNode* root); //二叉树后序遍历 void PostOrder(BTNode* root); //层序遍历 void LevelOrder(BTNode* root); //二叉树节点个数 int BinaryTreeSize(BTNode* root); //二叉树叶子节点个数 int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root); //二叉树第k层节点个数 int BinaryTreeLevelkSize(BTNode* root,int k); //二叉树查找值为x的节点 BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root,BTDataType x); //二叉树的创建和销毁 //通过前序遍历的数组"ABD##EH##CF##G#"构建二叉树 BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a,int n,int* pi); //二叉树销毁 void BinaryTreeDestory(BTNode** root); //判断二又树是否是完全二又树 int BinaryTreeComplete(BTNode* root);
二叉树学的我头疼，看几天C++换换口味 _(¦3」∠)_ ，代码随后更
