二叉排序树（二叉查找树、二叉搜索树）（图解+完整代码）
目录
⚽1.什么是二叉排序树
🏐2.构建二叉排序树
🏀3.二叉排序树的查找操作
🥎4.二叉排序树的删除
🎱5.完整代码
⚽1.什么是二叉排序树
我们直接看它的性质：
- 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它根结点的值。
- 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它根结点的值。
- 它的左、右树又分为⼆叉排序树
显然，二叉排序树与二叉树一样，也是通过递归的形式定义的。因此，它的操作也都是基于递归的方式。
二叉排序树也叫二叉查找树、二叉搜索树，既然名字都不一般，那它显然和普通的二叉树不同。那到底有什么不同，它的特点或者优点在哪里呢？不妨，我们来构建一棵二叉树。
🏐2.构建二叉排序树
假设我们有以下数据，我们按从左到右的顺序来构建二叉排序树：
- 首先，将8作为根节点
- 插入3，由于3小于8，作为8的左子树
- 插入10，由于10大于8，作为8的右子树
- 插入1，由于1小于8，进入左子树3，1又小于3，则1为3的左子树
- 插入6，由于6小于8，进入左子树3，6又大于3，则6为3的右子树
- 插入14，由于14大于8，进入右子树10，14又大于10，则14为10的右子树
- 插入4，由于4小于8，进入左子树3，4又大于3，进入右子树6，4还小于6，则4为6的左子树
- 插入7，由于7小于8，进入左子树3，7又大于3，进入右子树6，7还大于于6，则7为6的右子树
- 插入13，由于13大于8，进入右子树10，又13大于10，进入右子树14,13小于14，则13为14的左子树
经过以上的逻辑，这棵二叉排序树构建完成。
我们可以看出：
- 只要左子树为空，就把小于父节点的数插入作为左子树
- 只要右子树为空，就把大于父节点的数插入作为右子树
- 如果不为空，就一直往下去搜索，直到找到合适的插入位置
了解了如何构建后，我们不禁要问，这有啥用呀？感觉没啥特别的地方呢？别急！我们马上揭晓！
我们对这棵二叉树进行中序遍历，看看会发生什么？你自己试一试！
没错，这棵二叉树中序遍历结果为：
根据以上思路，我们其实就可以写出代码了，构建的过程其实就是插入的过程：
void insert(int key) { //定义一个临时指针 用于移动 Node* temp = root;//方便移动 以及 跳出循环 Node* prev = NULL;//定位到待插入位置的前一个结点 while (temp != NULL) { prev = temp; if (key data) { temp = temp->left; } else if(key > temp->data) { temp = temp->right; } else { return; } } if (key data) { prev->left = (Node*)malloc(sizeof(Node)); prev->left->data = key; prev->left->left = NULL; prev->left->right = NULL; } else { prev->right = (Node*)malloc(sizeof(Node)); prev->right->data = key; prev->right->left = NULL; prev->right->right = NULL; } }🏀3.二叉排序树的查找操作
它既然也叫二叉查找树，那想必会非常方便我们查找吧！它的操作并不是把中序遍历的结果存入数组，然后在有序数组里查找，而是直接在树上查找。其操作与二分查找非常相似，我们来查找7试一试？（这里要说明以下：在正常的数据结构中，由于数据量很大，所以我们也不知道我们想要的元素在不在里面；同时也不知道每个元素具体是多少，只知道他们的大小关系。我们是在此基础上进行查找）
- 首先，访问根节点8
- 根据性质，7比8小，所以如果7存在，那应该在8的左子树那边，访问8的左子树
- 访问到了3，根据第2步的思想，访问3的右子树
- 访问到了6，继续访问6的右子树
- 访问到了7，刚好找到啦！
显然，它的效率会比在无序数组中挨着查找快多了吧！我们直接上代码。
/*查找元素key*/ bool search(Node* root, int key) { while (root != NULL) { if (key == root->data) return true; else if (key data) root = root->left; else root = root->right; } return false; }🥎4.二叉排序树的删除
那么删除就稍微比查找与插入复杂一点，因为需要分类讨论了。
1.被删除结点为叶子结点
直接从二叉排序中删除即可，不会影响到其他结点。例如删去7：
2.被删除结点D仅有一个孩子
- 如果只有左孩子，没有右孩子，那么只需要把要删除结点的左孩子连接到要删除结点的父亲结点，然后删除D结点；
- 如果只有右孩子，没有左孩子，那么只要将要删除结点D的右孩子连接到要删除结点D的父亲结点，然后删除D结点。
以D=14为例：它没有右孩子，只有左孩子。（先把10指向14的右指针移动，去指向13，然后再删除14）
再以D=10为例，它没有左孩子，只有右孩子。（先把8指向10的右指针移动，去指向14，然后再删除10）
3.被删除结点左右孩子都在
这种情况就要复杂很多了。但没有关系，依然会讲的很清楚。
我们先假设删除根节点8，看看会发生什么？
我们的目标依然是要保证删除结点8后，再次中序遍历它，仍不改变其升序的排列方式。 那么我们只有用7或者10来替换8原来的位置。
我们先看7来顶替位置
此时7从叶子结点“升迁”到了根节点（只是刚好要删除的结点为根节点，如果删除3，就替换3的位置）
我们再看10来顶替位置
这时候我们就应该会产生两个问题：
为什么是7或者10来替换8的位置？
显然，7与10是挨着8的，如果用其他元素替换则会打扰其顺序。
那7和10怎么在二叉排序树中找到呢？
- 显然，7在8左子树的“最右边”，10在8右子树的“最左边”。根据二叉排序树的插入方式，比8小的元素一定在左子树，而我们又要找到比8小的最大的数，这样才能保证他们俩在顺序上是挨着的，所以它又会在8的左子树的最右边。同理也可以找到10.
根据此方法，我们可以直接给出代码
int delete_node(Node* node, int key) { if (node == NULL) { return -1; } else { if (node->data == key) { //当我执行删除操作 需要先定位到删除结点的前一个结点（父节点） Node* tempNode = prev_node(root, node, key); Node* temp = NULL; //如果右子树为空，只需要重新连接结点（包含叶子结点），直接删除 if (node->right == NULL) { temp = node; node = node->left; /*判断待删除结点是前一个结点的左边还是右边*/ if (tempNode->left->data == temp->data) { Node* free_node = temp; tempNode->left = node; free(free_node); free_node = NULL; } else { Node* free_node = temp; tempNode->right = node; free(free_node); free_node = NULL; } } else if (node->left == NULL) { temp = node; node = node->right; if (tempNode->left->data == temp->data) { Node* free_node = temp; tempNode->left = node; free(free_node); free_node = NULL; } else { Node* free_node = temp;/ tempNode->right = node; free(free_node); free_node = NULL; } } else//左右子树都不为空 { temp = node; /*往左子树 找最大值*/ Node* left_max = node;//找最大值的临时指针 left_max = left_max->left;//先到左孩子结点 while (left_max->right != NULL) { temp = left_max; left_max = left_max->right; } node->data = left_max->data; if (temp != node) { temp->right = left_max->left; free(left_max); left_max = NULL; } else { temp->left = left_max->left; free(left_max); left_max = NULL; } } } else if(key data) { delete_node(node->left, key); } else if (key > node->data) { delete_node(node->right, key); } } }🎱5.完整代码
#include #include typedef struct SortTree { int data;//存放数据的数据域 struct SortTree* left;//指针域 左指针 struct SortTree* right;//指针域 右指针 }Node; /*全局变量*/ Node* root;//根节点 void Init(int);//初始化操作 void insert(int);//插入操作 void show(Node*); int delete_node(Node*, int); Node* prev_node(Node*, Node*, int); bool search(Node* root, int key); int main() { Init(8); insert(4); insert(2); insert(5); insert(10); insert(9); insert(13); show(root); delete_node(root, 8); delete_node(root, 13); printf("\n"); show(root); } /*初始化根节点 int key : 根节点的值 */ void Init(int key) { root = (Node*)malloc(sizeof(Node)); root->data = key; root->left = NULL; root->right = NULL; } void insert(int key) { //定义一个临时指针 用于移动 Node* temp = root;//方便移动 以及 跳出循环 Node* prev = NULL;//定位到待插入位置的前一个结点 while (temp != NULL) { prev = temp; if (key data) { temp = temp->left; } else if(key > temp->data) { temp = temp->right; } else { return; } } if (key data) { prev->left = (Node*)malloc(sizeof(Node)); prev->left->data = key; prev->left->left = NULL; prev->left->right = NULL; } else { prev->right = (Node*)malloc(sizeof(Node)); prev->right->data = key; prev->right->left = NULL; prev->right->right = NULL; } } void show(Node* root) { if (root == NULL) { return; } show(root->left); printf("%d ", root->data); show(root->right); } /*查找元素key*/ bool search(Node* root, int key) { while (root != NULL) { if (key == root->data) return true; else if (key data) root = root->left; else root = root->right; } return false; } int delete_node(Node* node, int key) { if (node == NULL) { return -1; } else { if (node->data == key) { //当我执行删除操作 需要先定位到前一个结点 Node* tempNode = prev_node(root, node, key); Node* temp = NULL; /* 如果右子树为空 只需要重新连接结点 叶子的情况也包含进去了 直接删除 */ if (node->right == NULL) { temp = node; node = node->left; /*为了判断 待删除结点是前一个结点的左边还是右边*/ if (tempNode->left->data == temp->data) { Node* free_node = temp;//释放用的指针 tempNode->left = node; free(free_node); free_node = NULL; } else { Node* free_node = temp;//释放用的指针 tempNode->right = node; free(free_node); free_node = NULL; } } else if (node->left == NULL) { temp = node; node = node->right; if (tempNode->left->data == temp->data) { Node* free_node = temp;//释放用的指针 tempNode->left = node; free(free_node); free_node = NULL; } else { Node* free_node = temp;//释放用的指针 tempNode->right = node; free(free_node); free_node = NULL; } } else//左右子树都不为空 { temp = node; /*往左子树 找最大值*/ Node* left_max = node;//找最大值的临时指针 left_max = left_max->left;//先到左孩子结点 while (left_max->right != NULL) { temp = left_max; left_max = left_max->right; } node->data = left_max->data; if (temp != node) { temp->right = left_max->left; free(left_max); left_max = NULL; } else { temp->left = left_max->left; free(left_max); left_max = NULL; } } } else if(key data) { delete_node(node->left, key); } else if (key > node->data) { delete_node(node->right, key); } } } /*定位到待删除节点的前一个结点 Node* root 从根节点开始 Node* node 待删除的结点 int key 待删除数据 */ Node* prev_node(Node* root, Node* node, int key) { if (root == NULL || node == root) { return node; } else { if (root->left != NULL && root->left->data == key) { return root; } else if(root->right != NULL && root->right->data == key) { return root; } else if (key data) { return prev_node(root->left, node, key); } else { return prev_node(root->right, node, key); } } }本结就到这里啦，感谢你的支持！
- 显然，7在8左子树的“最右边”，10在8右子树的“最左边”。根据二叉排序树的插入方式，比8小的元素一定在左子树，而我们又要找到比8小的最大的数，这样才能保证他们俩在顺序上是挨着的，所以它又会在8的左子树的最右边。同理也可以找到10.
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